1. 무게중심($G$) 좌표 구하기: "산술 평균"

 삼각형의 세 꼭짓점 좌표가 $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$, $C(x_3, y_3)$일 때, 무게중심 $G$의 좌표는 단순히 x값들의 평균과 y값들의 평균입니다.

$$G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$$

• 성질: 무게중심은 중선을 2:1로 내분하는 점입니다.

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2. 일정한 비율로 내분한 삼각형의 무게중심

삼각형 $ABC$의 세 변을 동일한 비율 $m:n$으로 내분(또는 외분)하여 만든 새로운 삼각형 $DEF$가 있다고 가정해 봅시다.

• 핵심: 삼각형 $DEF$의 무게중심은 원래 삼각형 $ABC$의 무게중심과 일치합니다.

• 활용: 복잡하게 내분점의 좌표를 일일이 구할 필요 없이, 원래 점 세 개로 무게중심을 구하면 끝납니다. (시간 단축의 핵심!)

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3. 거리의 제곱의 합이 최소가 되는 점

삼각형 내부의 한 점 $P$에 대하여, 각 꼭짓점까지의 거리의 제곱의 합($PA^2 + PB^2 + PC^2$)이 최소가 되게 하는 점 $P$는 어디일까요?

• 결과: 그 점 $P$는 바로 그 삼각형의 무게중심입니다.

• 증명: 이차함수의 완전제곱식을 유도해 보면 평균값(무게중심)에서 최솟값이 나옴을 확인할 수 있습니다.