[고등 수학] 각의 이등분선과 내분점: 공식 하나로 좌표 구하기

 평면좌표 단원에서 자주 등장하는 이 유형은 **'도형의 성질'**이 곧 **'풀이의 열쇠'**가 됩니다. 자막에 나온 12번 예제를 통해 단계별로 정복해 봅시다.

1. 반드시 기억해야 할 중등 수학 성질

삼각형 $ABC$에서 각 $A$를 이등분하는 선이 변 $BC$와 만나는 점을 $D$라고 할 때, 다음 비례식이 성립합니다.

• 성질: $AB : AC = BD : CD$

• 즉, 양옆 변의 길이의 비가 밑변이 나뉘는 길이의 비와 같습니다.

2. 단계별 풀이 전략

[1단계] 두 변의 길이($AB$, $AC$) 구하기

점과 점 사이의 거리 공식($\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$)을 사용합니다.

• $AC$의 길이: 계산 결과 13

• $AB$의 길이: 계산 결과 5

• 따라서 변의 비는 13 : 5가 됩니다.

[2단계] 점 $D$의 정체 파악하기

위 성질에 따라 점 $D$는 선분 $BC$를 13 : 5로 내분하는 점입니다.

[3단계] 내분점 공식 적용하기

내분점 공식 $\left( \frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n} \right)$에 대입합니다. ($m=13, n=5$)

• $x$좌표: $\frac{13 \times 5 + 5 \times (-4)}{13+5} = \frac{65-20}{18} = \frac{45}{18} = \mathbf{\frac{5}{2}}$

• $y$좌표: $\frac{13 \times 2 + 5 \times (-7)}{13+5} = \frac{26-35}{18} = -\frac{9}{18} = \mathbf{-\frac{1}{2}}$

최종 답: 점 $D$의 좌표는 **$(\frac{5}{2}, -\frac{1}{2})$**입니다.

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💡 실전 팁

1. 순서 주의: $BC$를 내분하는지 $CB$를 내분하는지에 따라 $x_1, x_2$ 값이 바뀌므로, 자막에서 강조한 것처럼 시작점을 확실히 정하고 공식에 넣으세요.

2. 비율 계산: 숫자가 크게 나오더라도 내분점 공식의 분모($m+n$)로 약분되는 경우가 많으니 끝까지 침착하게 계산하는 것이 중요합니다.